刘若川主讲才斋讲堂第281讲：现代数学的思维方式—从对象到结构

2026年9月10日，中国科学院院士、北京大学数学科学学院院长刘若川做客才斋讲堂第281讲，讲座主题为“现代数学的思维方式—从对象到结构”。他围绕数学家如何思考问题展开讲授，通过无穷集合、范畴、群与数系扩展等实例，阐释数学研究中发现结构、转换视角与推广概念的思维方式。讲座由北京大学研究生院主办，相关消息可见于研究生院网站（https://grs.pku.edu.cn/xwdt/b929689dad85491f9c518233a73ea6d5.htm）。

刘若川在开场时提到，数学不仅涉及计算与解题，也包含对结构的认识和对概念的探索。现代数学中的抽象概念看似陌生，背后却蕴含着自然的思考过程。他鼓励同学们以欣赏的心态接近数学，理解抽象概念背后的考量，体会数学之美。

“无穷如何比较大小”是讲座给出的第一个案例。在有限集合中，元素个数相同可以用两个集合之间存在一一对应来刻画；将这一表述推广到无限集合，便能够讨论无穷集合的大小。刘若川通过正整数、正偶数与正有理数之间的一一对应，说明看似大小不同的无限集合可以具有相同的势，并指出正实数集合无法与正整数集合建立一一对应。在他看来，抓住原有概念的本质，找到适用于更广泛情形的表达，是数学发展的重要思路。

从范畴论的视角，刘若川介绍了抽象数学如何组织知识。他以集合及其映射等为例，说明数学家如何从不同对象中提炼共同结构，通过对象之间的关系认识对象本身。他将这一过程与日常数数作类比：从苹果、梨等具体事物中抽象出数字，使人们能够用统一的运算处理不同情境中的数量问题；现代数学的抽象同样着眼于发现不同现象背后的共性。

“群”的概念则从几何图形的旋转与对称出发，将具体操作提炼为具有一定运算规律的数学结构。刘若川结合代数方程的求解问题，介绍伽罗瓦如何借助群的思想研究方程的可解性，展示从寻找求根公式到追问方程能否用根式求解的视角转变。他进一步将群与范畴联系起来，通过从群到群胚的推广，说明用更基础的语言重新理解已有对象，有助于发现新的研究方向。

在谈及如何通过扩大研究范围化解困难时，刘若川以从实数到复数的扩展为例，说明在更大的数系中，原先没有根的多项式方程可以得到求解。他又结合费马大定理相关的数论探索，介绍数学家如何引入新的数系，尝试推广整数中的整除与因数分解方法。他指出，原有性质并不一定在推广后继续成立，而这些差异又会引出新的问题，推动更深层次的研究。

讲座最后，刘若川指出，数学研究中的抽象与类比，使一个领域中的思想能够迁移到另一个领域，建立看似不同的问题之间的联系。找到恰当的结构、选择合适的语言描述问题，是探索新知识的重要方式。他鼓励同学们保持好奇心，拓宽知识视野，在学习与交流中发现新的问题。

才斋讲堂第281讲以“从对象到结构”为主线，将无穷集合、范畴、群与数系扩展等看似分散的内容串联起来。对数学学习者而言，这种视角有助于理解抽象概念并非凭空产生，而是从具体问题中逐步提炼而来；对跨学科研究者来说，抽象与类比作为思维工具，其价值也不局限于数学内部。